Bilangan Bulat

Sebuah kotak kue berbentuk kubus. Jika volumenya 729 cm3, berapa sentimeter panjang rusuk kotak kue tersebut? Agar kamu dapat menjawabnya, kamu harus mengetahui nilai akar pangkat tiga dari 729. Pada bab ini, kamu akan mempelajari cara mencari nilai akar pangkat tiga suatu bilangan. Selain itu, kamu akan mempelajari sifat-sifat operasi hitung, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB), dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Untuk itu, pelajarilah bab ini dengan baik.

A. Sifat-Sifat Operasi Hitung

Di Kelas IV dan Kelas V, kamu telah mempelajari sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Pelajarilah kembali sifat-sifat operasi hitung tersebut.

1. Sifat Komutatif

Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
2 + 4 = 6
4 + 2 = 6
Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
2 × 4 = 8
4 × 2 = 8
Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.

Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian. Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian?
Perhatikan contoh berikut.
a. 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
b. 2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2

Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

Ayo Berlatih 1

2. Sifat Asosiatif

Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga bilangan berikut.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.

Ayo Berlatih 2

3. Sifat Distributif

Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif. Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya, perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).

Contoh 2
Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).
Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.

Ayo Berlatih 3

4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung

Sifat distributif dapat kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar. Agar kamu lebih memahaminya, coba pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh 1
a. 8 × 123 = ...
b. 6 × 98 = ...
Jawab:
a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)
                  = (8 × 100) + (8 × 20) + (8 × 3)
                  = 800 + 160 + 24 = 984
Jadi, 8 × 123 = 984.

b. 6 × 98 = 6 × (100 – 2)
               = (6 × 100) – (6 × 2)
               = 600 – 12
               = 588
Jadi, 6 × 98 = 588.
Contoh 2
a. (3 × 46) + (3 × 54) = ....
b. (7 × 89) – (7 × 79) = ....
Jawab:
a. (3 × 46) + (3 × 54) = 3 × (46 + 54)
                                    = 3 × 100
                                    = 300
Jadi, (3 × 46) + (3 × 54) = 300.
b. (7 × 89) – (7 × 79) = 7 × (89 – 79)
                                   = 7 × 10
                                   = 70
Jadi, (7 × 89) – (7 × 79) = 70.

Ayo Berlatih 4

B. Menentukan FPB dan KPK

1. Menentukan FPB

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan telah kalian pelajari di Kelas V. Kalian juga telah mempelajari cara menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Marilah kita terapkan untuk menyelesaikan masalah berikut. Pak Yudi memiliki 12 apel dan 18 jeruk. Apel dan jeruk tersebut akan dimasukkan ke dalam kantong plastik. Berapa kantong plastik yang dibutuhkan, jika setiap kantong berisi apel dan jeruk dengan jumlah yang sama? Untuk menjawab soal tersebut, kamu harus mencari FPB dari 12 dan 18.

Langkah-langkah pengerjaan FPB.
1. Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.
2. Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.
3. Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terkecil.

Perhatikan diagram berikut ini.

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
Faktorisasi prima dari 18 adalah 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².
FPB dari 12 dan 18 adalah 2 × 3 = 6.
Jadi, kantong plastik yang diperlukan adalah 6 buah. Setiap kantong plastik
memuat 2 apel dan 3 jeruk, seperti terlihat pada gambar berikut.

Sekarang, kalian akan mempelajari cara menentukan FPB dari tiga bilangan.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan FPB dari 12, 24, dan 42.
Jawab:

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
Faktorisasi prima dari 24 adalah 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3.
Faktorisasi prima dari 42 adalah 42 = 2 × 3 × 7.
Jadi, FPB dari 12, 24, 24, dan adalah 2 × 3 = 6.
Contoh 2
Tentukan FPB dari 15, 25, dan 60.
Jawab:


Faktorisasi prima dari 15 adalah 15 = 3 × 5.
Faktorisasi prima dari 25 adalah 25 = 5 × 5.
Faktorisasi prima dari 60 adalah 60 = 2 × 2 ×3 × 5 = 2² × 3 × 5.
Jadi, FPB dari 15, 25, dan 60 adalah 5.

Ayo Berlatih 5 B. Ayo, kerjakanlah soal-soal cerita berikut di buku latihanmu. 1. Ibu memiliki 28 kue keju dan 40 kue donat. Kue-kue tersebut akan dimasukkan     ke dalam kotak-kotak. Jika setiap kotak memuat jumlah kue keju dan kue donat     dalam jumlah yang sama, berapa banyak kotak yang diperlukan ? 2. Ibu Siska akan membagikan 27 kemeja dan 45 celana pendek kepada anakanak     yang membutuhkan. Setiap anak memperoleh jumlah kemeja dan celana     pendek dalam jumlah yang sama. a. Berapa banyak anak yang memperoleh kemeja dan celana pendek tersebut? b. Berapa banyak kemeja dan celana pendek yang diperoleh setiap anak? 3. Seorang pedagang memiliki 42 permen rasa cokelat, 48 permen rasa jeruk, dan     60 permen rasa mangga. Ia menginginkan setiap stoples memuat ketiga jenis     permen tersebut dalam jumlah yang sama. a. Berapa banyak stoples yang harus disediakan? b. Berapa banyak permen rasa cokelat, rasa jeruk, dan rasa mangga dalam     setiap stoplesnya?

2. Menentukan KPK

Cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan dengan menggunakan faktorisasi prima telah kamu pelajari di Kelas V. Ingatlah kembali materi tentang KPK tersebut karena kamu akan mempelajarinya lebih dalam di bab ini.

Pak Teguh mendapat tugas piket di sekolah setiap 12 hari sekali. Pak Didi mendapat tugas piket setiap 18 hari sekali. Tanggal 1 Juli 2007 mereka mendapat tugas piket secara bersamaan. Kapan mereka akan mendapat tugas piket secara bersamaan untuk yang kedua?
Untuk menjawab soal tersebut, kamu harus mencari KPK dari 12 dan 18.
Langkah-langkah menentukan KPK.
1. Tentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.
2. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan-bilangan tersebut.
3. Jika faktor yang sama memiliki pangkat berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terbesar.

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3 = 2² ×3.
Faktorisasi prima dari 18 adalah 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².
KPK dari 12 dan 18 adalah 22 × 32 = 4 × 9 = 36.
Jadi, Pak Teguh dan Pak Didi akan mendapat tugas piket secara bersamaan
setiap 36 hari sekali. Coba kamu tentukan tanggal berapakah itu?
Kalian akan mempelajari cara mencari KPK dari tiga bilangan. Cara
menentukan KPK dari tiga bilangan sama seperti dalam mencari KPK dari dua
bilangan. Perhatikan contoh berikut.
Contoh
Tentukanlah KPK dari 8, 16, dan 40.
Jawab:


Faktorisasi prima dari 8 = 2 × 2 × 2 = 2³.
Faktorisasi prima dari 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴.
Faktorisasi prima dari 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5.
KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 24 × 5 = 16 × 5 = 80.
Jadi, KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 80.

Ayo Berlatih 6 A. Ayo, tentukanlah KPK dari bilangan-bilangan berikut di buku latihanmu. 1. 10 dan 12 5. 25 dan 45 9. 18, 32, dan 36 2. 15 dan 20 6. 32 dan 48 10. 9, 18, dan 54 3. 16 dan 24 7. 60 dan 80 11. 25, 45, dan 70 4. 18 dan 30 8. 45 dan 50 12. 50, 60, dan 70 B. Ayo, kerjakanlah soal-soal cerita berikut di buku latihanmu. 1. Lampu A menyala setiap 6 detik sekali, sedangkan     lampu B setiap 8 detik sekali. Setiap berapa     detik kedua lampu tersebut akan menyala secara bersamaan? 2. Frida berenang setiap 10 hari sekali. Tomi berenang     setiap 15 hari sekali. Tanggal 5 Maret 2008 mereka berenang bersama untuk     pertama kali. Kapan mereka akan berenang bersama untuk kedua kalinya dan     ketiga kalinya? 3. Pak Made mendapat tugas ronda setiap 6 hari sekali, sedangkan Pak Janu setiap     8 hari sekali. Adapun Pak Tono setiap 12 hari sekali. Tanggal 1 Juni 2008     mereka bertiga tugas ronda bersama untuk kali pertama. Kapan mereka akan     tugas ronda secara bersama untuk ketiga kalinya?

C. Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

1. Perpangkatan Tiga

Di Kelas V, kamu telah mengenal bilangan berpangkat dua. Jika suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri, dikatakan bahwa bilangan tersebut dikuadratkan.
Misalnya, 5 × 5 = 25, dapat ditulis 5² = 25. Artinya, kuadrat dari 5 adalah 25. Adapun 25 disebut bilangan kuadrat.
Dengan cara yang sama, kamu dapat memahami perpangkatan tiga dari suatu bilangan.
Misalnya, 5 × 5 × 5 = 125, dapat ditulis 5³ =125.

Contoh lainnya,
2 × 2 × 2 = 8 dapat ditulis 2³ = 8
3 × 3 × 3 = 27 dapat ditulis 3³ = 27
Bilangan 8, 27, dan 125 disebut juga bilangan kubik karena dapat dinyatakan
sebagai perpangkatan tiga bilangan, yaitu 2³, 3³, dan 5³.

Ayo Berlatih 7 A. Ayo, salin dan lengkapilah tabel berikut di buku latihanmu. B. Ayo, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Tuliskan 3 bilangan kubik antara 100 dan 500. 2. Perhatikan kubus di samping ini.     a. Panjang rusuk kubus = ... cm.     b. Volume = ( ... × ... × ... ) cm3                      = ... cm3. 3. Sebuah kotak obat berbentuk kubus memiliki panjang rusuk 10 cm. Berapa     sentimeter kubik (cm3) volume kotak obat tersebut? 4. Jika 312 = 961, berapakah kuadrat dari 310?

2. Penarikan Akar Pangkat Tiga

Di Kelas V, kamu juga telah mempelajari penarikan akar pangkat dua. Masih ingatkah kamu cara mencari nilai akar pangkat dua dari suatu bilangan? Ayo, perhatikan penguadratan bilangan berikut.

Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua.

Perhatikan perpangkatan tiga berikut.

3. Operasi Hitung pada Bilangan Berpangkat

Operasi hitung seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat juga dilakukan pada bilangan berpangkat maupun bilangan akar. Agar lebih jelas, pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh
a. 2³ + 2² = (2 × 2 × 2) + (2 × 2)
                  = 8 + 4
                  = 12
b. 3² – 2³ = (3 × 3) – (2 × 2 × 2)
                 = 9 – 8
                 = 1
c. (3² + 4²) – 2 = (9 + 16) – 8
                          = 25 – 8
                          = 17
d. 5³ × 3³ = (5 × 5 × 5) × ( 3 × 3 × 3)
                 = 125 × 27
                 = 3.375
e. 9 + 3 8 = 3 + 2
                 = 5

Beri Penilaian

Ketinggian permukaan laut di bumi meningkat 1 cm dalam 20 tahun terakhir akbiat pemanasan global. Mungkin ini adalah kata-kata yang sering kita dengar akhir-akhir ini. Ya…..
Ketinggian permukaan laut di bumi meningkat 1 cm dalam 20 tahun terakhir akbiat pemanasan global. Mungkin ini adalah akta-kata yang sering kita dengar akhir-akhir ini. Ya, berita pemanasan global memang sering terdengar akhri-akhir ini sehingga ketinggian permukaan laut terus meningkat. Tetapi, ternyata 1 cm merupakan contoh dari bilangan bulat. Contoh penggunaan bilangan bulat lainnya dalam kehidupan kita adalah 5C, 1200 mdpl, dan lain-lain yang sering kita dengar.

Bilangan bulat ternyata bukan satu-satunya bilangan. Selain itu, ada bilangan asli (Natural Number) yang dimulai dari 1 dan bilangan cacah (Whole Number) yagn dimulai dari 0. Sementara bilangan bulat memuat semua bilangan termasuk bilangan negatif.
I. PERKALIAN BILANGAN BULAT
Perkalian bilangan bulat ini sebenarnya sangat mudah . Tetapi, ada beberapa hal yang harus kita mengerti seperti :
1. (+) x (+) = (+)
2. (-) x (-) = (+)
3. (+) x (-) = (-)
Itu adalah peraturan yang pertama, peraturan yang kedua yang tak kalah penting ialah:
Hierarki tanda perhitungan:
1. Atau tanda kurung
2. Atau pemangkatan
3. Atau Pengakaran
4. * Atau Perkalian
5. : Atau Pembagian
6. + Atau Penjumlahan
7. Atau Pengurangan
Ya, hanya itu saja mudahkan ?
Contoh:
1. 5*(3+2)-3*(-2)=(Ingat, penulisan perkalian angka minus harus diawali dengan tanda kurung)
Solusi:
= 5*(3+2)-3*(-2)
= 5*5+6
= 25+6
= 31